Неопределенный интеграл от косинуса в кубе

Неопределенный интеграл от косинуса в кубе В предыдущей записи была решена задача нахождения неопределенного интеграла от синуса в третьей степени \displaystyle \int\sin^3 x\;dx. Рассмотрим аналогичную задачу по нахождению неопределенного интеграла от косинуса в кубе, т.е.

\displaystyle \int\cos^3 x\;dx.

Заметим, что косинус в третьей степени  \cos^3 x=\cos x\,\cos^2 x   \forall x\in{\mathbb R} и \cos^2x=1-\sin^2x   \forall x\in{\mathbb R},  а значит,

 \displaystyle \int\cos^3 x\;dx= \displaystyle \int \cos^2 x\, \cos x\;dx= \displaystyle \int (1-\sin^2x)\cos x\;dx.

Далее воспользуемся тем, что \cos x=(\sin x)^{\prime}\;\;\;\forall x\in{\mathbb R}  и  f^{\prime}(x)\;dx=df(x):

\displaystyle \int\cos^3 x\;dx=\ldots= \displaystyle \int (1-\sin^2x)\cos x\;dx=

\displaystyle =\int(1-\sin^2x)(\sin x)^{\prime}\;dx= \displaystyle \int(1-\sin^2x)\;d\sin x=

\displaystyle =\int d\sin x-\int\sin^2x\;d\sin x= \displaystyle \sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C \quad \forall x\in{\mathbb R},

где C — произвольная вещественная постоянная.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от «косинуса в кубе» было использовано свойство линейности неопределенного интеграла:

\displaystyle \int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx= \displaystyle \alpha\int f(x)\;dx+\beta\int g(x)dx   \alpha,\beta\in{\mathbb R};

и то, что

\displaystyle \int dF(x)=F(x)+C, \quad \displaystyle \int u^{\alpha} du=\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ \ (\alpha\ne{}-1).

Таким образом

\displaystyle \int\cos^3 x\;dx=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C \quad    \displaystyle \forall x\in{\mathbb R},

где C — произвольная вещественная постоянная.

В следующем видео эта задача приведена с подробным решением и необходимыми комментариями, что поможет лучше разобраться с ходом решения задачи нахождения интеграла от косинуса в третьей степени.

Прекрасная возможность сказать спасибо это поделиться записью с друзьями. Спасибо и Вам

Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *