Неопределенный интеграл от косинуса в квадрате

Неопределенный интеграл от косинуса в квадратеПри решении задач на нахождение интегралов от тригонометрических функций часто требуется найти неопределенный интеграл от косинуса во второй степени, в этом случае удобно воспользоваться формулой понижения степени

 \cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\ \ \forall x\in{\mathbb R}.

Рассмотрим следующий неопределенные интегралы от косинуса в квадрате:

\displaystyle \int\cos^2x\;dx= \displaystyle\int\dfrac{1+\cos 2x}{2}\;dx= \displaystyle\dfrac{1}{2}\ \int dx+\dfrac{1}{2}\ \int \cos2x\ dx=

\displaystyle =\dfrac{1}{2}\ x+\dfrac{1}{2\cdot2}\ \int \cos 2x\;d(2x)= \displaystyle \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\ \sin 2x+C \ \ \forall x\in{\mathbb R},

где C — произвольная вещественная постоянная.

Значит, неопределенный интеграл от косинуса в квадрате:

\displaystyle \int\cos^2x\;dx= \displaystyle \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\ \sin 2x+C \ \ \forall x\in{\mathbb R}.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от косинуса во второй степени были использованы:

\displaystyle dx=\dfrac{d(\alpha x)}{\alpha}\ \ \ \alpha\ne 0, \quad    \displaystyle \int dF(x)=F(x)+C, \quad    \displaystyle \int \cos u\;du=\sin u+C.

В приведенном видео-занятии по теме «Неопределенный интеграл: интегрировании некоторых тригонометрических функций» демонстрируется подробное решение этой задачи, а также задачи нахождения неопределенного интеграла от синуса в квадрате.

Прекрасная возможность сказать спасибо это поделиться записью с друзьями. Спасибо и Вам

Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *