Неопределенный интеграл от синуса в четвертой степени

Неопределенный интеграл от синуса в четвертой степениВ предыдущих записях мы рассматривали нахождение неопределенных интегралов от синуса во второй и третьей степенях. Продолжая этот процесс решим задачу нахождения неопределенного интеграла от синуса в четвертой степени, т.е.

\displaystyle \int \sin^4 x\,dx.

Для нахождения этого неопределенного интеграла воспользуемся формулой понижения степени синуса:

\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2} \quad \forall\alpha\in{\mathbb R}.

Интеграл

\displaystyle \int \sin^4 x\,dx=\int(\sin^2x)^2\,dx=   \displaystyle \int\Bigl(\dfrac{1-\cos2x}{2}\Bigr)^2\,dx= \displaystyle \int\dfrac{1-2\cos2x+\cos^2 2x}{4}\,dx.

Далее воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла:

\displaystyle \int (\lambda f(x)+\mu g(x))dx=\lambda\int f(x)\;dx+\mu\int g(x)dx

и формулой понижения степени косинуса

\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2} \quad \forall\alpha\in{\mathbb R}.

При этом, интеграл от синуса в 4-й степени

\displaystyle \int \sin^4 x\,dx=\ldots= \int\dfrac{1-2\cos2x+\cos^2 2x}{4}\,dx=

\displaystyle =\dfrac{1}{4}\, \Bigl(\int dx-2\int\cos2x\,dx+\int \cos^2 2x\,dx \Bigr)=

\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\Bigl(\int dx-\dfrac{2}{2}\,\int\cos2x\,d(2x)+\int \dfrac{1+\cos 4x}{2}\,dx \Bigr)=

\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\Bigl(\int dx-\int\cos2x\,d(2x)+\dfrac{1}{2}\,\int dx+\dfrac{1}{2}\,\int\cos 4x\,dx\Bigr)=

\displaystyle=\dfrac{1}{4}\,\Bigl(\dfrac{3}{2}\,\int dx-\int\cos2x\,d(2x)+\dfrac{1}{2\cdot 4}\,\int\cos 4x\,d(4x)\Bigr)=

\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\Bigl(\dfrac{3}{2}\,x-\sin 2x+\dfrac{1}{8}\,\sin 4x +C\Bigr)= \dfrac{3}{8}\,x-\dfrac{1}{4}\,\sin 2x+\dfrac{1}{32}\,\sin 4x +C,

где C — произвольная действительная постоянная.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от синуса в четвертой степени также было использовано свойство дифференциала df(x)=f^{\prime}(x)\,dx, по которому dx=\dfrac{d(\alpha x)}{\alpha}  \alpha\ne 0.

Таким образом

\displaystyle \int\sin^4 x\;dx= \dfrac{3}{8}\,x-\dfrac{1}{4}\,\sin 2x+\dfrac{1}{32}\,\sin 4x +C\quad \forall x\in{\mathbb R},

где C — произвольная действительная постоянная.

Также для успешного освоения темы и формирования навыка нахождения интегралов будет полезно посмотреть следующее видео занятие, где подробно и с комментариями приведено решение примера по нахождению неопределенного интеграла от синуса в 4-й степени.

Прекрасная возможность сказать спасибо это поделиться записью с друзьями. Спасибо и Вам

Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *