Неопределенный интеграл от синуса в кубе

Неопределенный интеграл от синуса в кубеРассмотрим решение задачи по нахождению неопределенного интеграла от синуса в кубе, т.е.

\displaystyle \int\sin^3 x\;dx.

Прежде всего заметим, что синус в третьей степени  \sin^3 x=\sin x\sin^2 x \forall x\in{\mathbb R} и \sin^2x=1-\cos^2x \forall x\in{\mathbb R},  а значит,

 \displaystyle \int\sin^3 x\;dx= \displaystyle \int \sin^2 x \sin x\;dx= \displaystyle \int (1-\cos^2x)\sin x\;dx.

Далее воспользуемся тем, что \sin x={}-(\cos x)^{\prime}\;\;\forall x\in{\mathbb R} и f^{\prime}(x)\;dx=df(x):

\displaystyle \int\sin^3 x\;dx=\ldots= \displaystyle \int (1-\cos^2x)\sin x\;dx=

\displaystyle ={}-\int(1-\cos^2x)(\cos x)^{\prime}\;dx= \displaystyle {}-\int(1-\cos^2x)\;d\cos x=

\displaystyle ={}-\int d\cos x+\int\cos^2x\;d\cos x= \displaystyle -\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C \quad \forall x\in{\mathbb R},

где C — произвольная вещественная постоянная.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от «синуса в кубе» также было использовано свойство линейности неопределенного интеграла:

\displaystyle \int (\lambda f(x)+\mu g(x))dx= \displaystyle \lambda\int f(x)\;dx+\mu\int g(x)dx;

и то, что

\displaystyle \int dF(x)=F(x)+C, \quad \displaystyle \int u^{\alpha} du=\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ \ (\alpha\ne{}-1).

Таким образом

\displaystyle \int\sin^3 x\;dx={}-\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C \quad \displaystyle \forall x\in{\mathbb R},

где C — произвольная вещественная постоянная.

В следующем видео продемонстрировано нахождение неопределенного интеграла от синуса в третьей степени. Пояснения и комментарии помогут разобраться с ходом решения задачи и сформировать навык нахождения подобных интегралов.

Прекрасная возможность сказать спасибо это поделиться записью с друзьями. Спасибо и Вам

Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *