Неопределенный интеграл от синуса в квадрате

Интеграл от синуса в квадратеЧасто при решении прикладных задач возникают ситуации когда требуется найти неопределенный интеграл от синуса или косинуса в некоторой натуральной степени, в частности, от синуса или косинуса в квадрате, в этих случаях для нахождения неопределенного интеграла требуется воспользоваться формулами понижения степени

\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\ \ \forall x\in{\mathbb R}\,,\quad \cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\ \ \forall x\in{\mathbb R}.

Рассмотрим следующий неопределенные интегралы от синуса в квадрате:

\displaystyle \int\sin^2x\;dx= \displaystyle\int\dfrac{1-\cos 2x}{2}\;dx= \displaystyle\dfrac{1}{2}\ \int dx-\dfrac{1}{2}\ \int \cos2x\ dx=

\displaystyle =\dfrac{1}{2}\ x-\dfrac{1}{2\cdot2}\ \int \cos 2x\;d(2x)= \displaystyle \dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\ \sin 2x+C \ \ \forall x\in{\mathbb R},

где C — произвольная вещественная постоянная.

Таким образом:

\displaystyle \int\sin^2x\;dx= \dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\ \sin 2x+C \ \ \forall x\in{\mathbb R}.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от синуса во второй степени были использованы:

\displaystyle dx=\dfrac{d(\alpha x)}{\alpha}\ \ \ \alpha\ne 0, \quad    \displaystyle \int dF(x)=F(x)+C, \quad    \displaystyle \int \cos u\;du=\sin u+C.

В следующем практическом видео-занятии по теме «Неопределенный интеграл: интегрировании некоторых тригонометрических функций» приведено подробное решение задачи о нахождении  интеграла от sin в квадрате.

Прекрасная возможность сказать спасибо это поделиться записью с друзьями. Спасибо и Вам

Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *