Сами по себе матрицы, как таблицы чисел, не представляли бы никакого интереса, если бы с ними не возможно было производить действия. В этой статье мы познакомимся с основными действиями (операциями) над матрицами: сложением и вычитанием матриц, умножением матрицы на число, умножением матриц, транспонированием матриц.

Содержание

Сложение матриц
   Сумма матриц
   Пример нахождения суммы матриц
Вычитание матриц
   Разность матриц
   Пример нахождения разности матриц
Умножение матрицы на число (скаляр)
   Произведение матрицы на число
   Пример нахождения произведения матрицы на число (скаляр)
Противоположная матрица
   Теорема о единственности противоположной матрицы
Свойства операций сложения, вычитания и умножения матриц на число
Умножение матриц
   Произведение матриц
   Пример нахождения произведения матриц
   Перестановочные матрицы
Свойства операции умножения матриц
Транспонирование матриц
   Пример транспонирования матрицы
Элементарные преобразования над матрицами
   Каноническая форма матрицы

Сложение матриц

На множестве матриц одного и того же размера можно ввести внутреннюю бинарную операцию сложение матриц, при такой операции двум матрицам $A$ и $B$ одинакового размера $\displaystyle m \times n$ ставится в соответствие матрица $C$ того же размера, матрицу-результат будем называть суммой матриц и обозначать $A+B.$

Определение 1. Суммой матриц $A^{}_{m \times n}=(a^{}_{ij})$ и $B^{}_{m \times n}=(b^{}_{ij})$ называется матрица $C^{}_{m \times n}=(c^{}_{ij}),$ где каждый элемент $c^{}_{ij}=a^{}_{ij}+b_{ij}^{},$ $i=1,\ldots,m,$ $j=1,\ldots,n,$ т.е.

$\left(\!\!\begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}\! &a^{}_{1 2}\!&\ldots\!&a^{}_{1 n}\\[.5ex]a^{}_{2 1}\! &a^{}_{2 2}\!&\ldots\!&a^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots\\[.35ex] a^{}_{m 1}\! &a^{}_{m 2}\!&\ldots\!&a^{}_{m n}\end{array}\!\!\right)+$ $\left(\!\!\begin{array}{cccc}b^{}_{1 1}\! &b^{}_{1 2}\!&\ldots\!&b^{}_{1 n}\\[.5ex]b^{}_{2 1}\! &b^{}_{2 2}\!&\ldots\!&b^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots\\[.35ex] b^{}_{m 1}\! &b^{}_{m 2}\!&\ldots\!&b^{}_{m n}\end{array}\!\!\right)=$

$=\left(\!\!\begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}+b^{}_{1 1}\! &a^{}_{1 2}+b^{}_{1 2}\!&\ldots\!&a^{}_{1 n}+b^{}_{1 n} \\[.5ex] a^{}_{2 1}+b^{}_{2 1}\! &a^{}_{2 2}+b^{}_{2 2}\!&\ldots\!&a^{}_{2 n}+b^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots \\[.35ex] a^{}_{m 1}+b^{}_{m 1}\! &a^{}_{m 2}+b^{}_{m 2}\!&\ldots\!&a^{}_{m n}+b^{}_{m n}\end{array}\!\!\right)$

Таким образом, для нахождения суммы матриц надо сложить их соответствующие элементы.

Например,

$\left(\!\!\begin{array}{ccc}3 &10& 0\\[.35ex] -5&2&3\end{array}\!\!\right)+$ $\left(\!\!\begin{array}{ccc}1 &4& -2\\[.35ex] 3&12&-3\end{array}\!\!\right)=$

$=\left(\!\!\begin{array}{ccc}3+1 &10+4& 0+(-2)\\[.35ex] -5+3&2+12&3+(-3)\end{array}\!\!\right)=$ $\left(\!\!\begin{array}{ccc}4 &5& -2\\[.35ex] 2&14&0\end{array}\!\!\right).$

Вычитание матриц

Аналогичным образом на множестве матриц одного и того же размера вводится внутренняя бинарная операция вычитание матриц, при такой операции двум матрицам $A$ и $B$ одинакового размера $m \times n$ ставится в соответствие матрица $C$ того же размера, матрицу-результат будем называть разностью матриц $A$ и $B$ и для обозначения использовать запись $A-B.$

Определение 2. Разностью матриц $A^{}_{m \times n}=(a^{}_{ij})$ и $B^{}_{m \times n}=(b^{}_{ij})$ называется матрица $C^{}_{m \times n}=(c^{}_{ij}),$ где $c^{}_{ij}=a^{}_{ij}-b_{ij}^{},$ $i=1,\ldots,m,$ $j=1,\ldots,n,$ т.е.

$\left(\!\!\begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}\! &a^{}_{1 2}\!&\ldots\!&a^{}_{1 n}\\[.5ex]a^{}_{2 1}\! &a^{}_{2 2}\!&\ldots\!&a^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots\\[.35ex] a^{}_{m 1}\! &a^{}_{m 2}\!&\ldots\!&a^{}_{m n}\end{array}\!\!\right)-$ $\left(\!\!\begin{array}{cccc}b^{}_{1 1}\! &b^{}_{1 2}\!&\ldots\!&b^{}_{1 n}\\[.5ex]b^{}_{2 1}\! &b^{}_{2 2}\!&\ldots\!&b^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots\\[.35ex] b^{}_{m 1}\! &b^{}_{m 2}\!&\ldots\!&b^{}_{m n}\end{array}\!\!\right)=$

$=\left(\!\!\begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}-b^{}_{1 1}\! &a^{}_{1 2}-b^{}_{1 2}\!&\ldots\!&a^{}_{1 n}-b^{}_{1 n} \\[.5ex] a^{}_{2 1}-b^{}_{2 1}\! &a^{}_{2 2}-b^{}_{2 2}\!&\ldots\!&a^{}_{2 n}-b^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots \\[.35ex] a^{}_{m 1}-b^{}_{m 1}\! &a^{}_{m 2}-b^{}_{m 2}\!&\ldots\!&a^{}_{m n}-b^{}_{m n}\end{array}\!\!\right)$

Таким образом, для нахождения разности двух матриц надо от элементов первой матрицы вычесть соответствующие элементы второй матрицы.

Например,

$\left(\!\!\begin{array}{ccc}5 &0& -3\\[.35ex] -15&2&3\end{array}\!\!\right)-$ $\left(\!\!\begin{array}{ccc}10 &-4& -2\\[.35ex] 3&7&0\end{array}\!\!\right)=$

$=\left(\!\!\begin{array}{ccc}5-10 &0-(-4)& -3-(-2)\\[.35ex] -15-3&2-7&3-0\end{array}\!\!\right)=$ $\left(\!\!\begin{array}{ccc}-5&4& -1\\[.35ex] -18&-5&3\end{array}\!\!\right).$

Умножение матрицы на число (скаляр)

На множестве матриц введем внешнюю бинарную операцию умножение матрицы на число, при такой операции матрице $A$ и числу $\alpha$ ставится в соответствие матрица $B$ того же размера, что и матрица $A.$ Матрицу-результат будем называть произведением матрицы $A$ на число $\alpha$ и обозначать $\alpha A.$

Определение 3. Произведением матрицы $A^{}_{m \times n}=(a^{}_{ij})$ на число $\alpha$ называется матрица $B^{}_{m \times n}=(b^{}_{ij}),$ где $b^{}_{ij}=\alpha a^{}_{ij},$ $i=1,\ldots,m,$ $j=1,\ldots,n,$ т.е.

$\alpha \left(\!\!\begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}\! &a^{}_{1 2}\!&\ldots\!&a^{}_{1 n}\\[.5ex]a^{}_{2 1}\! &a^{}_{2 2}\!&\ldots\!&a^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots\\[.35ex] a^{}_{m 1}\! &a^{}_{m 2}\!&\ldots\!&a^{}_{m n}\end{array}\!\!\right)=$ $\left(\!\!\begin{array}{cccc} \alpha a^{}_{1 1}\! & \alpha a^{}_{1 2}\!&\ldots\!& \alpha a^{}_{1 n} \\[.5ex] \alpha a^{}_{2 1}\! & \alpha a^{}_{2 2}\!&\ldots\!& \alpha a^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots\\[.35ex] \alpha a^{}_{m 1}\! & \alpha a^{}_{m 2}\!&\ldots\!& \alpha a^{}_{m n}\end{array}\!\!\right).$

Таким образом, для нахождения произведения матрицы $A$ на число $\alpha$ надо каждый элемент матрицы $A$ умножить на число $\alpha.$

Например,

$3\left(\!\!\begin{array}{ccc}2 &5& 0\\[.35ex] -2&1&5\end{array}\!\!\right)=$ $\left(\!\!\begin{array}{ccc}3\cdot 2 &3\cdot 5& 3\cdot 0\\[.35ex] 3\cdot(-2)&3\cdot 1&3\cdot 5\end{array}\!\!\right)=$ $\left(\!\!\begin{array}{ccc}6&15& 0\\[.35ex] -6&3&15\end{array}\!\!\right).$

Противоположная матрица

Определение 4. Противоположной матрицей к матрице $A,$ называется матрица, обозначаемая ${}-A,$ такая, что $A+({}-A)=O,$ где $O$ — нулевая матрица того же размера, что и матрица $A.$

Теорема 1. Каждая матрица $A$ имеет единственную противоположную матрицу, причем ${}-A=(-1)A.$

Доказательство. Пусть $A_{m\times n}=(a_{ij})$ произвольная матрица. Тогда из задания операций сложения матриц и умножения матрицы на число, следует, что для матрицы $A$ существует противоположная матрица $({}-1)A\colon$

$A+(-A)=$ $(a_{ij})_{m\times n}+(-1)(a_{ij})_{m\times n}=$ $(a_{ij})_{m\times n}+(-a_{ij})_{m\times n}=$

$=(a_{ij}+(-a_{ij}))_{m\times n}=$ $(a_{ij}-a_{ij})_{m\times n}=$ $(0)_{m\times n}=O_{m\times n}.$

Докажем единственность противоположной матрицы. Предположим, что матрица $A$ имеет противоположную матрицу $B_{m\times n}=(b_{ij}),$ отличную от матрицы $(-1)A.$ Тогда

$A+B=O\iff$ $(a_{ij})_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}=O\iff$ $(a_{ij}+b_{ij})=O\iff$

$\iff a_{ij}+b_{ij}=0,$ $i=1,\ldots,m,$ $j=1,\ldots,n,\iff$

$\iff b_{ij}=-a_{ij},$ $i=1,\ldots,m,$ $j=1,\ldots,n.$

Мы получили, что каждый элемент $b_{ij}$ матрицы $B$ равен соответствующему элементу матрицы $(-1)A,$ а значит, матрицы $B$ и $(-1)A$ равны. Полученное противоречие (по предположению матрицы $B$ и $(-1)A$ не равны) доказывает то, что у матрицы $A$ не существует противоположной матрицы отличной от $(-1)A.$ $\boxtimes$

Разность матриц $A$ и $B$ можно определить через сумму матрицы $A$ и противоположной матрицы $-B:$ $A-B=$ $A+(-B)=$ $A+(-1)B.$

Свойства операций сложения, вычитания и умножения матриц на число

Пусть $A, B$ и $C$ произвольные матрицы размера $m\times n,$ а $\alpha$ и $\beta$ любые действительные числа, тогда справедливы следующие утверждения.

$A+B=B+A;$
$A+(B+C)=(A+B)+C;$
$A+O=A;$
$A-A=O;$
$1\cdot A=A;$
$\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B;$
$(\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A;$
$\alpha(\beta A)=(\alpha\beta)A.$

Умножение матриц

На множестве матриц вводится операция (действие) умножение матриц. При умножении матрицы $A$ размера $m\times k$ и матрицы $B$ размера $k\times n$ им ставится в соответствие матрица $C_{m\times n}$ размера $m\times n,$ называемая произведением матрицы $A$ на матрицу $B.$ Для обозначения матрицы произведения используется запись $AB$ или $A\cdot B.$

Определение 5. Произведением матрицы $A_{m\times k}$ на матрицу $B_{k\times n}$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij}),$ где

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+$ $a_{i,k-1}b_{k-1,j}+a_{ik}b_{kj},$ $i=1,\ldots,m,\ j=1,\ldots,n.$

Таким образом, для того чтобы найти матрицу-произведение надо вычислить все ее элементы. При этом, для элемента $c_{ij},$ находящегося в $i\!$ -ой строке и $j\!$ -ом столбце матрицы-произведения (матрицы $C$ ), надо взять элементы $i\!$ -ой строки первой матрицы (матрицы $A$ ) и умножить их на соответствующие элементы $j\!$ -го столбца второй матрицы (матрицы $B$ ), полученные произведения следует сложить (рис. 1). Произведение $AB$ можно найти лишь в том случае, когда количество столбцов матрицы $A$ совпадает с количеством строк матрицы $B.$ У матрицы-произведения $AB$ количество строк совпадает с количеством строк первой матрицы (матрицы $A$ ), а количество столбцов совпадает с количеством столбцов второй матрицы (матрицы $B$ ).

Рис. 1

Заметим, что произведение $AB$ в общем случае не совпадает с произведением $BA,$ более того, иногда одно из этих произведений может и не существовать.

Например, для матриц

$A=\left(\!\!\!\begin{array}{cc} 1&2\\[0.5ex]3&-1\end{array} \!\!\!\right),\ \ \ B=\left(\!\!\!\begin{array}{ccc} 0&1&3\\[0.5ex]2&-2&1\end{array} \!\!\!\right)$

произведение

$AB=\left(\!\!\!\begin{array}{cc} 1&2\\[0.5ex]3&-1\end{array} \!\!\!\right)\left(\!\!\!\begin{array}{ccc} 0&1&3\\[0.5ex]2&-2&1\end{array} \!\!\!\right)=$

$=\left(\!\!\!\begin{array}{ccc} 1\cdot 0+2\cdot 2\ &1\cdot 1+2\cdot(-2)\ &1\cdot 3+2\cdot 1\\[0.5ex] 3\cdot 0+(-1)\cdot 2\ &3\cdot 1+(-1)\cdot(-2)\ &3\cdot 3+(-1)\cdot 1 \end{array} \!\!\!\right)= \left(\!\!\!\begin{array}{ccc} 4&-3&5\\[0.5ex] -2&5&8 \end{array} \!\!\!\right).$

В этом примере произведение $BA$ не определено, так как у матрицы $B$ число столбцов — 3, а у матрицы $A$ две строки.

Определение 6. Если $AB=BA,$ то матрицы $A$ и $B$ называются перестановочными матрицами.

Свойства операции умножения матриц

$A\cdot(B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C;$
$A\cdot (B+C)=AB+AC;$
$(A+B)\cdot C=AC+BC;$
$\alpha(AB)=(\alpha A)\cdot B=A\cdot (\alpha B).$

Транспонирование матриц

Каждой матрице $A$ размера $m\times n$ можно поставить в соответствие транспонированную матрицу $A^T$ размера $n\times m,$ у которой каждая строка с номером $k, k=1,\ldots,n,$ будет состоять из элементов (в порядке их следования) столбца с номером $k$ матрицы $A.$ Такая операция называется транспонированием матрицы.

Например,

$A=\left(\!\!\! \begin{array}{cc} 1&5\\[0.5ex] 2&-3\\[0.5ex] 0&-5 \end{array}\!\!\! \right),\quad A^T=\left(\!\!\! \begin{array}{ccc} 1&2&0\\[0.5ex] 5&-3&-5 \end{array}\!\!\! \right).$

Элементарные преобразования над матрицами

Выделим преобразования матрицы, которые принято называть элементарными:

Перестановка местами строк (столбцов) матрицы;
Умножение или деление на ненулевое число всех элементов строки (столбца) матрицы;
Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) умноженных на один и тот же скаляр (число).

Определение 7. Если матрица $B$ получается из матрицы $A$ с помощью элементарных преобразований, то матрицы $A$ и $B$ называются эквивалентными матрицами.

Если матрицы $A$ и $B$ эквивалентны, то это будем записывать следующим образом: $A \sim B.$

Элементарные преобразования над матрицами обычно применяются для перехода от матрицы к эквивалентной ей матрице в канонической форме (матрице у которой в начале главной диагонали находятся подряд несколько единиц), что позволяет определить ранг матрицы. Так же проведение таких преобразований над строками матриц позволяет перейти от матрицы к эквивалентной ей ступенчатой матрице, что широко применяется в методе Гаусса решения систем линейных уравнений.