Матрица является одним из основных математических понятий. В статье приводится определение матрицы, вводится отношение равенства матриц, приведены основные виды матриц.

   Содержание
Определение матрицы;
Равенство матриц
Основные виды матриц
    Строчная матрица
    Столбцовая матрица
    Нулевая матрица
    Квадратная матрица
        Диагональная матрица
            Скалярная матрица 
            Единичная матрица
        Треугольная матрица
    Ступенчатая матрица
Транспонированная матрица
Исторические сведения

Определение матрицы

Одним из основных математических понятий является матрица, под которой понимается система из $mn$ чисел (элементов матрицы), записанных прямоугольной таблицей из $m$ строк и $n$ столбцов:

$\!\left(\!\!\begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}\! &a^{}_{1 2}\!&\ldots\!&a^{}_{1 n}\\[.5ex]a^{}_{2 1}\! &a^{}_{2 2}\!&\ldots\!&a^{}_{2 n} \\[.5ex]\ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots\\[.35ex] a^{}_{m 1}\! &a^{}_{m 2}\!&\ldots\!&a^{}_{m n}\end{array}\!\!\right),\quad$ $\left[\!\!\begin{array}{cccc} a^{}_{1 1}\! &a^{}_{1 2}\!&\ldots\!&a^{}_{1 n} \\[.5ex] a^{}_{2 1}\! &a^{}_{2 2}\!&\ldots\!&a^{}_{2 n} \\[.5ex] \ldots\! &\ldots\!&\ldots\!&\ldots\\[.35ex] a^{}_{m 1}\! &a^{}_{m 2}\!&\ldots\!&a^{}_{m n}\end{array}\!\!\right],\quad$ $\! \left|\;\!\!\left|\!\!\begin{array}{cccc} a^{}_{1 1}\! &a^{}_{1 2}\!&\ldots&a^{}_{1 n} \\[.5ex] a^{}_{2 1}\! &a^{}_{2 2}\!&\ldots&a^{}_{2 n} \\[.5ex] \ldots\! &\ldots\!&\ldots&\ldots\\[.35ex] a^{}_{m 1}\! &a^{}_{m 2}\!&\ldots&a^{}_{m n}\end{array}\!\!\right|\;\!\!\right|.\!$

Для задания матриц применяются скобки $(\ ),\ [\ ]$ или $|| \ ||.$

Каждый элемент $a^{}_{ij}$ матрицы имеет два индекса: первый индекс $i$ указывает на номер строки и изменяется от $1$ до $m$ , а второй $j$ — на номер столбца и изменяется от $1$ до числа $n.$ При необходимости индексы можно отделять друг от друга запятой или небольшим интервалом. Это рекомендуется делать, когда индексы могут принимать значения двузначных чисел. Так например из записи $a_{123}^{}$ непонятно элемент какой строки и какого столбца имеется ввиду, чего не скажешь про $a_{12,3}^{}.$ Здесь $i=12,$ $j=3.$

Элементы $a^{}_{i1},a^{}_{i2},\ldots,a^{}_{in}$ образуют $i-$ ю строку матрицы, а элементы $a^{}_{1j}, a^{}_{2j}, \ldots, a^{}_{mj}$ — $j-$ й столбец.

Про матрицу, имеющую $m$ строк и $n$ столбцов, говорят, что она является матрицей размера $m \times n$ (читается $m$ на $n$ ).

Для задания матриц размера $m\times n$ может использоваться и краткая форма записи $(a^{}_{ij})_{m\times n},$ $[a^{}_{ij}]_{m\times n},$ $|\!|a^{}_{ij}|\!|_{m\times n}.$

Для обозначения матриц применяются большие буквы латинского алфавита $A,\,B,\,C,\ldots.$ Если необходимо подчеркнуть какой размер имеет матрица, то эта информация указывается в нижнем индексе: $A^{}_{m\times n}.$

Равенство матриц

На множестве матриц можно ввести отношение равенства. Две матрицы $(a^{}_{ij})^{}_{m\times n}$ и $(b^{}_{ij})^{}_{p\times q}$ будем называть равными, если $m=p,\, n=q,$ а $a^{}_{ij}=b^{}_{ij},$ $i=1\ldots,m,$ $j=1\ldots,n,$ иначе говоря, матрицы равны, если они имеют одинаковый размер, а также равны их соответствующие элементы. Для обозначения равенства матриц используется знак $=.$ Если матрица $A$ равна матрице $B,$ то это записывается следующим образом $A=B.$

Введенное отношение равенства матриц является отношением эквивалентности. Действительно, из определения равенства матриц следует, что для этого отношения выполняются условия:
1. Рефлексивность: матрица $A$ равна матрице $A$ $(A=A);$
2. Симметричность: если матрица $A$ равна $B,$ то матрица $B$ равна матрице $A$ $(A=B \ \, \Longrightarrow\ \, B=A);$
3. Транзитивность: если матрица $A$ равна матрице $B,$ а матрица $B$ равна матрице $C,$ то матрица $A$ равна матрице $C$ $(A=B\ \&\ B=C\ \Longrightarrow\ A=C).$

Пример 1. Для матриц $A=\left(\begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 &3\end{array}\right)$ и $B=\left(\begin{array}{cc} 1& 2 \\ x+3 & y^2_{}-y-3\end{array}\right)$ укажем значения неизвестных при которых они равны.

Матрицы $A$ и $B$ имеют одинаковый размер $2\times 2.$ По определению равенства матриц, матрицы $A$ и $B$ равны, если

$\left\{ \begin{array}{l}x+3=3,\\ y^2_{}+3y-3=3 \end{array} \right.\iff\left\{\begin{array}{l}x=0,\\ (y-3)(y+2)=0\end{array}\right.\iff\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l} x=0, \\ y=3, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} x=0, \\ y={}-2.\right. \end{array}\right.\end{array}\right.$

Таким образом, матрицы $A$ и $B$ равны при $x=0,y={}-2,$ а также при $x=0,y=3.$

Основные виды матриц

Строчная матрица

Матрицу, состоящую из единственной строки, называют строчной матрицей, используется также название матрица-строка. Таким образом, у строчной матрицы количество строк равно единице $(m=1),$ а количество столбцов — произвольное ( $n\in{\mathbb N},\ {\mathbb N}$ — множество натуральных чисел).

Матрица-строка имеет вид $(a_{11}^{}\ a_{12}^{}\ \ldots\ a_{1n}^{}).$ Например, строчными являются матрицы:

$A=({}-32\ \ 15\ \ \sqrt{10}\ \ {}-14),$ $B=({}-7\ \ \sqrt{2}\ \ \ \pi\ \ {}-\pi),$ $C=({}-\sin 2\ \ 200).$

Столбцовая матрица

Матрицу, состоящую из единственного столбца, называют столбцовой матрицей или матрицей-столбцом. Столбцовая матрица имеет вид $\normalstyle \left(\!\!\begin{array}{c}a^{}_{1 1} \\[.5ex]a^{}_{2 1} \\[.5ex]\ldots \\[.35ex]a^{}_{m 1}\end{array}\!\!\right),$ например:

$A=\left(\!\!\begin{array}{c}{}-8\\[.5ex]1\end{array}\!\!\right),\quad B=\left(\!\!\begin{array}{c}{}-2\\[0.5ex]1\\[.5ex]1\\[.5ex]{}-1\end{array}\!\!\right).$

Часто для обозначения матрицы-столбца используют запись ${\rm colon}\ (a_{11}^{}, a_{21}^{},\ldots, a_{n1}^{}).$ Такая запись указывает читателю на то, что находящиеся в скобках элементы должны располагаться столбцом. Подобные обозначения значительно экономят место при записи столбцовых матриц, например, приведенные выше матрицы могут быть записаны следующим образом $A={\rm colon }\ ({}-8,\ 1),$ $B={\rm colon} \ ({}-2,\ 1,\ 1,\ {}-1).$

Нулевая матрица

Если нулю равны все элементы матрицы, то ее называют нулевой или нуль-матрицей. Для ее обозначения используется буква $O$ с указанием размера. Если размер матрицы виден из ее задания или очевиден, то его можно и не указывать. Ниже приведены примеры нулевых матриц разных размеров:

$O^{}_{2\times 2}=\left(\!\!\begin{array}{cc} 0& 0 \\[.35ex] 0 &0\end{array}\!\!\right),$ $O^{}_{2\times 3}=\left(\!\!\begin{array}{ccc} 0& 0 &0 \\[.35ex] 0 & 0&0\end{array}\!\!\right).$

Нулевая матрица получила свое название также и из-за того, что в матричном исчислении у нее схожие функции с числом нуль в теории чисел.

Квадратная матрица

Особое место среди множества всех матриц занимает класс матриц с равным количеством строк и столбцов, такие матрицы называют квадратными.

При обозначении вместо размера у таких матриц указывается порядок (количество строк (столбцов)): $A^{}_n.$

Рассмотрим квадратную матрицу общего вида

$A^{}_n=\left(\!\!\begin{array}{cccc} a^{}_{11} &a^{}_{12}&\ldots&a^{}_{1n} \\[.35ex] a^{}_{21} &a^{}_{22}&\ldots&a^{}_{2n} \\[.35ex] \ldots &\ldots&\ldots&\ldots\\[0.5ex] a^{}_{n1} &a^{}_{n2}&\ldots&a^{}_{nn}\end{array}\!\!\right).$

Если соединить прямой верхний левый элемент матрицы с нижним правым, то все элементы, через которые «пройдет» эта диагональ, будут образовывать главную диагональ. Другими словами, главная диагональ состоит из элементов $a_{11}^{},a_{22}^{},\ldots,a_{nn}^{}$ . Если провести вторую диагональ из верхнего правого угла в нижний левый угол матрицы, то получим вторую диагональ квадратной матрицы, ее образуют элементы $a_{1n}^{},a_{2,n-1}^{},\ldots,a_{n1}^{}$ .

Диагональная матрица

Диагональной является квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т.е.

$A=\left(\!\!\begin{array}{cccc} a^{}_{11} &0&\ldots&0 \\[.35ex] 0 &a^{}_{22}&\ldots&0 \\[.35ex] \ldots &\ldots&\ldots&\ldots\\[.35ex] 0&0&\ldots&a^{}_{nn}\end{array}\!\!\right).$

Заметим, что у диагональной матрицы среди элементов главной диагонали могут также быть нули. Для обозначения диагональной матрицы используется запись ${\rm diag}(a^{}_{11},a^{}_{22},\ldots,a^{}_{nn}),$ где в скобках перечисляются элементы главной диагонали матрицы.

Скалярная матрица

Диагональная матрица называется скалярной, если главная диагональ состоит из одного и того же числа:

$A^{}_n=\left(\!\!\begin{array}{cccc} \alpha &0&\ldots&0 \\[.35ex] 0 &\alpha&\ldots&0 \\[.35ex] \ldots &\ldots&\ldots&\ldots\\[.35ex] 0&0&\ldots&\alpha\end{array}\!\!\right)={\rm diag}(\alpha,\alpha,\ldots,\alpha).$

Единичная матрица

Диагональная матрица, у которой главная диагональ состоит из одних единиц, называется единичной. Каждая единичная матрица является скалярной. Для обозначения такой матрицы используется буква $E,$ у которой в качестве нижнего индекса может присутствовать порядок матрицы:

$E^{}_n=\left(\!\!\begin{array}{cccc} 1 &0&\ldots&0 \\[.35ex] 0 &1&\ldots&0 \\[.35ex] \ldots &\ldots&\ldots&\ldots\\[.35ex] 0&0&\ldots&1\end{array}\!\!\right)={\rm diag}(1,1,\ldots,1).$

Треугольная матрица

Треугольной называется квадратная матрица, у которой выше (ниже) главной диагонали располагаются лишь нулевые элементы. Можно выделить верхнюю треугольную и нижнюю треугольную матрицы:

$\left(\!\!\begin{array}{ccccc} a^{}_{11} &a^{}_{12}&a^{}_{13}&\ldots&a^{}_{1n} \\[.35ex] 0&a^{}_{22}&a^{}_{23}&\ldots&a^{}_{2n} \\[.35ex] 0&0&a^{}_{33}&\ldots&a^{}_{2n} \\[.35ex] \ldots &\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\[.35ex] 0&0&0&\ldots&a^{}_{nn}\end{array}\!\!\right),\quad \left(\!\!\begin{array}{ccccc} a^{}_{11} &0&0&\ldots&0 \\[.35ex] a^{}_{21}&a^{}_{22}&0&\ldots&0 \\[.35ex] a^{}_{31}&a^{}_{32}&a^{}_{33}&\ldots&0 \\[.35ex] \ldots &\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\[.35ex] a^{}_{n1}&a^{}_{n2}&a^{}_{n3}&\ldots&a^{}_{nn}\end{array}\!\!\right).$

Ступенчатая матрица

Матрица произвольного размера, имеющая вид

$A^{}_{m\times n}=\left(\!\!\begin{array}{ccccccc} a^{}_{11} &a^{}_{12}&a^{}_{13}&\ldots&a^{}_{1r}&\ldots&a^{}_{1n} \\[.35ex] 0 &a^{}_{22}&a^{}_{23}&\ldots&a^{}_{2r}&\ldots&a^{}_{2n} \\[.35ex] 0 &0&a^{}_{33}&\ldots&a^{}_{3r}&\ldots&a^{}_{3n} \\[.35ex] \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots&\ldots&\ldots\\[0.25ex] 0 &0&0&\ldots&a^{}_{rr}&\ldots&a^{}_{rn} \\[.35ex] 0 &0&0&\ldots&0&\ldots&0\\[.35ex] \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots&\ldots&\ldots\\[.35ex] 0 &0&0&\ldots&0&\ldots&0\end{array}\!\!\right),\quad 0<r\leqslant\min\{m,n\},$

называется ступенчатой. Иногда такие матрицы называют еще трапецевидными и квазитреугольными.

Транспонированная матрица

Если каждый столбец (строку) матрицы $A$ заменить строкой (столбцом) с тем же номером, то полученная матрица будет называться транспонированной к матрице $A.$ Для обозначения транспонированной матрицы используется запись $A^{T}_{}.$

Например, для матриц:

$A =\left(\begin{array}{ccc} 1& 2&{}-2 \\[.3ex] 3 &\pi&3\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 10& 2& {}-5\end{array}\right);$

транспонированными являются:

$A^T=\left(\begin{array}{cc} 1&3 \\[.3ex] 2&\pi \\[.3ex]{}-2&3\end{array}\right),\quad B^T=\left(\begin{array}{c} 10\\[.3ex] 2\\[.3ex] {}-5\end{array}\right).$

Если теперь в транспонированной матрице снова все строки заменить столбцами с теми же номерами, то получим исходную матрицу, а значит $(A^{T}_{})^{T}_{}=A.$

Исторические сведения

Термин «матрица» был введен в середине IXX века английским математиком Джеймсом Сильвестром, хотя, как математический объект они были известны еще в древнем Китае, чуть позже в Индии и у арабских математиков. Первые упоминания о матрицах относятся к древнему Китаю и связаны с «магическими квадратами». В те времена матрицы еще не имели такого обширного применения, а также не были сформулированы основные операции над матрицами. Прямоугольные таблицы чисел или иных объектов были интересны своими свойствами, нередко люди наделяли их магическими свойствами, использовали в роли оберегов (магический квадрат). В некоторых культурах матрицы применялись для определения степени близости родства для людей желающих вступить в брак.

Современная трактовка матриц позволила им крепко закрепиться в повсеместной жизни и найти применение как в математике, так и и в физике, экономике, психологии и других науках.