Матрицы. Основные определения

Матрица является одним из основных математических понятий. В статье приводится определение матрицы, вводится отношение равенства матриц, приведены основные виды матриц.

 Содержание Определение матрицы; Равенство матриц Основные виды матриц Строчная матрица Столбцовая матрица Нулевая матрица Квадратная матрица Диагональная матрица Скалярная матрица Единичная матрица Треугольная матрица Ступенчатая матрица Транспонированная матрица Исторические сведения

Определение матрицы

Одним из основных математических понятий является матрица, под которой понимается система из чисел (элементов матрицы), записанных прямоугольной таблицей из строк и столбцов:

quicklatex-com-4c3ccd83f9940fc867cacf4d983d5774_l3-6122620    quicklatex-com-65fdb480480762f2dc8552779acd9e3e_l3-7498162    quicklatex-com-9950e06ae34e848021c2eefb6ecf67ec_l3-2819649

Для задания матриц применяются скобки quicklatex-com-40d9c309e7de394b1380cd83be9a0968_l3-4526573 или quicklatex-com-8d60118a84448f28cbfcbff88cdbbe6a_l3-1825790

Каждый элемент quicklatex-com-fbbbe3db1e38cd8621d808ac94b985cf_l3-1188599 матрицы имеет два индекса: первый индекс указывает на номер строки и изменяется от до , а второй — на номер столбца и изменяется от до числа При необходимости индексы можно отделять друг от друга запятой или небольшим интервалом. Это рекомендуется делать, когда индексы могут принимать значения двузначных чисел. Так например из записи quicklatex-com-37a3a453080ce0aa03539f78646890c2_l3-2260787 непонятно элемент какой строки и какого столбца имеется ввиду, чего не скажешь про quicklatex-com-ea761d3d0d5b6a944457ba976b4dbc46_l3-3376292 Здесь quicklatex-com-4f6ad0cfb1335082c64d409a2150bcc0_l3-4253084 quicklatex-com-bc43b3621abe6b70b71d484b461478dd_l3-3408773

Элементы quicklatex-com-0bbb553166f239972aa7b9c539079bee_l3-7707838 образуют quicklatex-com-ecbb2feac169cac417009d384ffbc71a_l3-1065982ю строку матрицы, а элементы quicklatex-com-323dd04ae311505e1adc68bc77e5ba70_l3-4364412quicklatex-com-8bde25c67e188bb6e31637d41739e083_l3-1092628й столбец.

Про матрицу, имеющую строк и столбцов, говорят, что она является матрицей размера (читается на ).

Для задания матриц размера может использоваться и краткая форма записи quicklatex-com-8fd2f647f5f5f497dcaf7b80a3836488_l3-8907103 quicklatex-com-792a3da73bc8d75dff532af242371e4f_l3-3900970 quicklatex-com-5197de11449c3755b2dd94d123f2ca91_l3-9322516

Для обозначения матриц применяются большие буквы латинского алфавита quicklatex-com-9a83e6bfff53db842d7bc2e1728a2c88_l3-4671308 Если необходимо подчеркнуть какой размер имеет матрица, то эта информация указывается в нижнем индексе: quicklatex-com-7081159c359324cc0c9b13a555cb2e27_l3-5419323

Равенство матриц

На множестве матриц можно ввести отношение равенства. Две матрицы quicklatex-com-bba69523e52ac50dc564fa09b32ba8b9_l3-3590157 и quicklatex-com-0c75a87b17d2bb65e9a17daf82b329b8_l3-4359429 будем называть равными, если quicklatex-com-5cb448c744b15db63d67eafe32334f6f_l3-1509383 а quicklatex-com-e615fd0889e63b93c21e3c9e0a3a42fb_l3-6945710 quicklatex-com-907eb32b067b6984aa80111f91e554e6_l3-9167176 quicklatex-com-fed109fafdfea7768894e4ac01fa59f0_l3-9023777 иначе говоря, матрицы равны, если они имеют одинаковый размер, а также равны их соответствующие элементы. Для обозначения равенства матриц используется знак Если матрица quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 равна матрице quicklatex-com-9dd6ab9b9edfc1a04be23f151f59764d_l3-2499083 то это записывается следующим образом quicklatex-com-1dea049ee978b63fb2fe76bcb5ea63c2_l3-9398266

Введенное отношение равенства матриц является отношением эквивалентности. Действительно, из определения равенства матриц следует, что для этого отношения выполняются условия:
1. Рефлексивность: матрица quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 равна матрице quicklatex-com-55ec3414afd651b647206df3e1354c3d_l3-2147299 quicklatex-com-ae743694fdd3adf6de316e8d3586ba0f_l3-2053125
2. Симметричность: если матрица quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 равна quicklatex-com-9dd6ab9b9edfc1a04be23f151f59764d_l3-2499083 то матрица quicklatex-com-e6b67ca9131f126e20a95219c93a9034_l3-6402258 равна матрице quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 quicklatex-com-42d85ba11dd21c09db983a5469e11c26_l3-4585568
3. Транзитивность: если матрица quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 равна матрице quicklatex-com-9dd6ab9b9edfc1a04be23f151f59764d_l3-2499083 а матрица quicklatex-com-e6b67ca9131f126e20a95219c93a9034_l3-6402258 равна матрице quicklatex-com-53273f412d3775caee87032fb8606c6c_l3-3370812 то матрица quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 равна матрице quicklatex-com-606b82b0f5c713a03806b7d79791c340_l3-3533802 quicklatex-com-d350a202804372407a4216dbf069f7fc_l3-7275169

Пример 1. Для матриц quicklatex-com-7c5a5a0bd1e974afcc462b5820289c46_l3-5605081 и quicklatex-com-3d1e363db643644d9b3a0926dd993604_l3-8776578 укажем значения неизвестных при которых они равны.

Матрицы quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 и quicklatex-com-e6b67ca9131f126e20a95219c93a9034_l3-6402258 имеют одинаковый размер quicklatex-com-f77acb151572ee6b996f433ef1e30129_l3-8445632 По определению равенства матриц, матрицы quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 и quicklatex-com-e6b67ca9131f126e20a95219c93a9034_l3-6402258 равны, если

quicklatex-com-b365673f7b73179acad0df0a4dec45ce_l3-8154233

Таким образом, матрицы quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 и quicklatex-com-e6b67ca9131f126e20a95219c93a9034_l3-6402258 равны при quicklatex-com-40a15384cbe956e4bbb31cab7c6c774b_l3-7793400 а также при quicklatex-com-2f1bedb80730b5e827f65f0657dfcece_l3-7959654

Основные виды матриц

Матрицу, состоящую из единственной строки, называют строчной матрицей, используется также название матрица-строка. Таким образом, у строчной матрицы количество строк равно единице quicklatex-com-626833d00838a9587e0c01213850e2ca_l3-7424335 а количество столбцов — произвольное (quicklatex-com-03b40d801d4ac575297ac449282e64f8_l3-7794560 — множество натуральных чисел).

Матрица-строка имеет вид quicklatex-com-6cb262b21c26c1e8d79934e6bbeb0e15_l3-8290079 Например, строчными являются матрицы:

quicklatex-com-9f237f761fed8f0c46315ef7b4114e81_l3-9705630    quicklatex-com-2715f6be8a51f41d231486685dc019bb_l3-9090201    quicklatex-com-6aaf8912a2da9f94286c77b0a2bd19ef_l3-5624696

Столбцовая матрица

Матрицу, состоящую из единственного столбца, называют столбцовой матрицей или матрицей-столбцом. Столбцовая матрица имеет вид quicklatex-com-c1a32e81a9eb2af78457fc075bfbf637_l3-4719444 например:

quicklatex-com-da93e9c416533332fc0cbde6c7c00fe5_l3-7832790

Часто для обозначения матрицы-столбца используют запись quicklatex-com-ee41696f710a506319f7a1e683403427_l3-5095792 Такая запись указывает читателю на то, что находящиеся в скобках элементы должны располагаться столбцом. Подобные обозначения значительно экономят место при записи столбцовых матриц, например, приведенные выше матрицы могут быть записаны следующим образом quicklatex-com-a8633032d33abaaebf629fe270d91c9e_l3-6282956 quicklatex-com-0d48336b4f25353903bed6b2ad4f124e_l3-1305748

Нулевая матрица

Если нулю равны все элементы матрицы, то ее называют нулевой или нуль-матрицей. Для ее обозначения используется буква quicklatex-com-b41578e9170486d61538e104cea35811_l3-9495649 с указанием размера. Если размер матрицы виден из ее задания или очевиден, то его можно и не указывать. Ниже приведены примеры нулевых матриц разных размеров:

quicklatex-com-7a0d293565b41b221f7898d21e639ca9_l3-5647163 quicklatex-com-801372c4dc14cc66689244cc27a0510a_l3-7908444

Нулевая матрица получила свое название также и из-за того, что в матричном исчислении у нее схожие функции с числом нуль в теории чисел.

Квадратная матрица

Особое место среди множества всех матриц занимает класс матриц с равным количеством строк и столбцов, такие матрицы называют квадратными.

При обозначении вместо размера у таких матриц указывается порядок (количество строк (столбцов)): quicklatex-com-3ce0fc91b542abcbc1135620e73bc133_l3-2388702

Рассмотрим квадратную матрицу общего вида

quicklatex-com-9f455f6d75fba344c9cf8664c6286b29_l3-9206704

Если соединить прямой верхний левый элемент матрицы с нижним правым, то все элементы, через которые «пройдет» эта диагональ, будут образовывать главную диагональ. Другими словами, главная диагональ состоит из элементов quicklatex-com-3678caa6332f65c489ca18e224c89859_l3-2135206. Если провести вторую диагональ из верхнего правого угла в нижний левый угол матрицы, то получим вторую диагональ квадратной матрицы, ее образуют элементы quicklatex-com-73f0032ddf875b9f274a4ad6c71cba88_l3-3337337.

Диагональная матрица

Диагональной является квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т.е.

quicklatex-com-9b8e39fe5f432e474779b2e2f16d6743_l3-5387910

Заметим, что у диагональной матрицы среди элементов главной диагонали могут также быть нули. Для обозначения диагональной матрицы используется запись quicklatex-com-0cd3fca2fe6aa5d33a58a805c16f121f_l3-9915962 где в скобках перечисляются элементы главной диагонали матрицы.

Скалярная матрица

Диагональная матрица называется скалярной, если главная диагональ состоит из одного и того же числа:

quicklatex-com-6215e0c0a33a3f01402d3b030b547a6e_l3-1713340

Единичная матрица

Диагональная матрица, у которой главная диагональ состоит из одних единиц, называется единичной. Каждая единичная матрица является скалярной. Для обозначения такой матрицы используется буква quicklatex-com-32e1a779a7e743f48b933c64a110778c_l3-6133396 у которой в качестве нижнего индекса может присутствовать порядок матрицы:

quicklatex-com-2fe16caa55a84331bed031248eae65f1_l3-2989240

Треугольная матрица

Треугольной называется квадратная матрица, у которой выше (ниже) главной диагонали располагаются лишь нулевые элементы. Можно выделить верхнюю треугольную и нижнюю треугольную матрицы:

quicklatex-com-4da32bf45e8feb7d58db4f58a4c85469_l3-1171427

Ступенчатая матрица

Матрица произвольного размера, имеющая вид

quicklatex-com-1a8eb2db09c21721b2a50e18809bf0ed_l3-2755999

называется ступенчатой. Иногда такие матрицы называют еще трапецевидными и квазитреугольными.

Транспонированная матрица

Если каждый столбец (строку) матрицы quicklatex-com-c2ad2387f35d11e1454b53817a28b76d_l3-6525659 заменить строкой (столбцом) с тем же номером, то полученная матрица будет называться транспонированной к матрице quicklatex-com-160caa9a5f0a11d7fdc984dd8507db8c_l3-1854461 Для обозначения транспонированной матрицы используется запись quicklatex-com-5aec60b5c7fa76de9de712850a065c9f_l3-7002518

Например, для матриц:

quicklatex-com-1418a95c1bd1ed76551c197fd5c13c49_l3-5849688

транспонированными являются:

quicklatex-com-dcc06f52a2f22d50d32046d59b93d05a_l3-2620524

Если теперь в транспонированной матрице снова все строки заменить столбцами с теми же номерами, то получим исходную матрицу, а значит quicklatex-com-48b48103e3472a715a9d58bbd045bbef_l3-4836609

Исторические сведения

albrecht_dc3bcrer_-_melencolia_i_detail-6617800

Термин «матрица» был введен в середине IXX века английским математиком Джеймсом Сильвестром, хотя, как математический объект они были известны еще в древнем Китае, чуть позже в Индии и у арабских математиков. Первые упоминания о матрицах относятся к древнему Китаю и связаны с «магическими квадратами». В те времена матрицы еще не имели такого обширного применения, а также не были сформулированы основные операции над матрицами. Прямоугольные таблицы чисел или иных объектов были интересны своими свойствами, нередко люди наделяли их магическими свойствами, использовали в роли оберегов (магический квадрат). В некоторых культурах матрицы применялись для определения степени близости родства для людей желающих вступить в брак.

Современная трактовка матриц позволила им крепко закрепиться в повсеместной жизни и найти применение как в математике, так и и в физике, экономике, психологии и других науках.

Оцените автора
Высшая Математика