Содержание

Определитель квадратной матрицы первого порядка
Определитель квадратной матрицы второго порядка
Схема вычисления определителя второго порядка
Примеры вычисления определителей второго порядка
Определитель квадратной матрицы третьего порядка
Правило треугольников нахождения определителя третьего порядка
Примеры вычисления определителей третьего порядка

Используя специальное правило каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое будем называть определителем (детерминантом) и обозначать ${\rm det}\, A$ или $|A|,$ или $\Delta.$

Определитель квадратной матрицы первого порядка

Определителем квадратной матрицы первого порядка $A=(a_{11})$ называется число

$|A|=|a_{11}|=a_{11}.$

Заметим, что здесь выражение $|a_{11}|$ означает определитель, хоть внешне очень похоже на запись модуля числа $a_{11}.$ Таким образом, определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы, например для матриц

$A=(2),$ $B=(\pi),$ $C=({}-1)$ и $D=(-10\sqrt{2}\,)$

определители

$|A|=|2|=2,$ $|B|=|\pi|=\pi,$ $|C|=|{}-1|={}-1$ и $|D|=|-10\sqrt{2}\,|=-10\sqrt{2}\,.$

Определитель квадратной матрицы второго порядка

Определителем квадратной матрицы второго порядка

$A=\left(\!\!\begin{array}{cc}a_{11}^{}& a_{12}^{}\\[0.5ex]a_{21}^{}&a_{22}^{}\end{array}\!\!\right)$

называется число

$\left|A\right|= \left|\!\!\begin{array}{cc}a_{11}^{}& a_{12}^{}\\[0.5ex]a_{21}^{}&a_{22}^{}\end{array}\!\!\right|=a_{11}^{}a_{22}^{}-a_{12}^{}a_{21}.$

Таким образом, для того, что вычислить определитель матрицы 2-го порядка нужно умножить элементы главной диагонали матрицы и от полученного произведения вычесть произведение элементов побочной диагонали матрицы. Схема вычисления определителя второго порядка представлена на рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим примеры, где требуется вычислить определитель второго порядка. У матриц

$A=\left(\!\!\begin{array}{cc} 3& -4\\[0.5ex] 2&1\end{array}\!\!\right),$ $B=\left(\!\!\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha\\[0.5ex] -\sin\alpha&\cos\alpha \end{array}\!\!\right)$

определители

$\left|A\right|=\left|\!\!\begin{array}{cc} 3& -4\\[0.5ex] 2&1\end{array}\!\!\right|=3\cdot 1-({}-4)\cdot2=3+8=11,$

$\left|B\right|=\left(\!\!\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha\\[0.5ex] -\sin\alpha&\cos\alpha \end{array}\!\!\right) =\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha({}-\sin\alpha)=$

$=\cos^2\!\alpha+\sin^2\!\alpha=1.$

Определитель квадратной матрицы третьего порядка

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

$A=\left(\!\!\begin{array}{ccc}a_{11}^{}& a_{12}^{}&a_{13}^{}\\[0.5ex]a_{21}^{}& a_{22}^{}&a_{23}^{}\\[0.5ex]a_{31}^{}& a_{32}^{}&a_{33}^{}\end{array}\!\!\right)$

называется число

$\left|A\right|=\left|\!\!\begin{array}{ccc}a_{11}^{}& a_{12}^{}&a_{13}^{}\\[0.5ex]a_{21}^{}& a_{22}^{}&a_{23}^{}\\[0.5ex]a_{31}^{}& a_{32}^{}&a_{33}^{}\end{array}\!\!\right|=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-$ $(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{11}a_{23}a_{32}).$

Как видим, для того чтобы вычислить определитель матрицы третьего порядка необходимо использовать достаточно сложную для запоминания формулу, однако, заучивать ее вовсе не обязательно. Гораздо легче понять и запомнить схему вычисления определителя третьего порядка (рис. 2) (ее еще называют правилом треугольников). Используя эту схему решаются задачи на вычисление определителей матриц 3×3, и с ее помощью всегда можно восстановить формулу нахождения определителя 3-го порядка.

Схема вычисления определителя третьего порядка

Рис. 2

Как видно из схемы (рис. 2), для того чтобы найти определитель третьего порядка необходимо вычислить 6 чисел, каждое из которых представляет собой произведение трех чисел. Для нахождения первого числа требуется найти произведение элементов главной диагонали, второе и третье числа представляют собой произведения элементов, находящихся в вершинах равнобедренных треугольников (см. рис. 2), чьи основания параллельны главной диагонали матрицы. Аналогично, четвертое число в схеме есть произведение элементов второй (побочной) диагонали матрицы, а пятое и шестое числа находятся как произведения элементов-вершин равнобедренных треугольников с основаниями параллельными второй диагонали матрицы. Затем следует сложить первые три числа и из этой суммы вычесть сумму чисел с номерами 4 — 6.

Рассмотрим пример вычисления определителя матрицы третьего порядка. Определитель

$\left|\!\!\begin{array}{ccc}2& 3&-1\\[0.5ex] 1& 3&{}-1\\[0.5ex] 1& {}-3&0}\end{array}\!\!\right|= 2\cdot3\cdot0+3\cdot(-1)\cdot1+(-1)\cdot 1\cdot(-3)-$