Кусочно гладкие кривые

Определение 1. Если кривая $L$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ задана параметрически

(1) $\begin{equation*} L=\big\{(x,y,z)\colon x = x(t),\ y = y(t),\ z = z(t),\ t\in [\alpha;\beta]\big\} \end{equation*}$

так, что

(2) $\begin{equation*} A\big(x(\alpha),y(\alpha),z(\alpha)\big),\ \ B\big(x(\beta),y(\beta),z(\beta)\big), \end{equation*}$

функции $x\colon [\alpha;\beta]\to {\mathbb R},$ $y\colon [\alpha;\beta]\to {\mathbb R},$ $z\colon [\alpha;\beta]\to{\mathbb R}$ непрерывно дифференцируемы на смежных отрезках

(3) $\begin{equation*} [\alpha_i;\beta_i],\,i=1,\ldots,n,\ \alpha=\alpha_1<\beta_1=\alpha_2<\beta_2=\alpha_3<\ldots<\beta_n=\beta, \end{equation*}$

причем

(4) $\begin{equation*} \big({\sf D} x(t)\big)^2+\big({\sf D} y(t)\big)^2+ \big({\sf D} z(t)\big)^2\ne0\quad \forall t\in[\alpha;\beta], \end{equation*}$

то она называется кусочно гладкой кривой.

При $t = \alpha_i$ и $t = \beta_i,$ $i =1,\ldots,n,$ в (4) рассматриваются односторонние производные.

В каждой точке $X_t\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ кривой $L$ существует (рис. 1) либо касательная, либо полукасательная (одна или две).

Рис. 1

Наряду с (1) при (2) удобна запись-задание кривой

(5) $\begin{equation*} L=\{X_t\colon X_t = X_t\big(x(t),y(t),z(t)\big),\, t\in [\alpha;\beta]\},\ X_\alpha=A,\ X_\beta=B. \end{equation*}$

Из определения функции и задания (5) следует, что каждому значению $t\in [\alpha;\beta]$ отвечает определённая точка $X_t$ на $L.$ Обратное не всегда верно, поскольку есть кривые с точками самопересечения и участками самоналегания (рис. 2).

Определение 2. Кривая, гомеоморфная некоторому отрезку, называется простой.

Гомеоморфизм предполагает взаимнооднозначное и взаимнонепрерывное соответствие. Поэтому у простой кривой нет ни точек самопересечения, ни участков самоналегания.

кйсочно гладкая кривая, не простая кривая

Рис. 2

Определение 3. Путем $\stackrel{\frown}{AX_t}$ вдоль кривой (5) называется множество точек, которое пробегает точка $X_\zeta\in L$ при изменении $\zeta$ от $\alpha$ до $t\in [\alpha;\beta],$ причем участки многократного прохождения учитываются соответственно их кратности.

Длину пути $\stackrel{\frown}{AX_t}$ обозначим $\left|\stackrel{\frown}{AX_t}\right|\,.$

Например, длина пути $\stackrel{\frown}{AB}$ кривой $AB\,,$ построенной на рисунке 2б, равна

$\left|\stackrel{\frown}{AB}\right|=\left|\stackrel{\frown}{AC}\right|+ 2\left|\stackrel{\frown}{CD}\right|+ \left|\stackrel{\frown}{DnD}\right|+ \left|\stackrel{\frown}{CB}\right|.$

Определение 4. Кривая конечной длины называется спрямляемой.

Далее рассматриваются кусочно гладкие спрямляемые, но не обязательно простые, кривые.

Введем обозначения:

$s(t)=\left|\stackrel{\frown}{AX_t}\right|\ \ \forall t\in [\alpha;\beta],\quad\mbox{}$ $l=\left|\stackrel{\frown}{AB}\right|= \left|\stackrel{\frown}{AX_\beta}\right|.$

Тогда

(6) $\begin{equation*} s(t)=\int\limits_\alpha^t \sqrt{\big({\sf D} x(\tau)\big)^2 + \big({\sf D} y(\tau)\big)^2 + \big({\sf D} z(\tau)\big)^2}\, d\tau\ \ \forall t\in [\alpha;\beta]. \end{equation*}$

Функция $s$ возрастает (строго) на отрезке $[\alpha;\beta]$ и принимает значения $s(t)\in [0;l],$ $s(\alpha) = 0,$ $s(\beta) = l,$ то есть,

(7) $\begin{equation*} s\colon [\alpha;\beta]\to [0;l]. \end{equation*}$

По теореме Барроу функция $s$ является непрерывной кусочно непрерывно дифференцируемой на отрезке $[\alpha;\beta].$

Эти свойства позволяют сделать вывод о существовании функции

(8) $\begin{equation*} t\colon [0;l]\to [\alpha;\beta], \end{equation*}$

обратной к функции (7). При этом функция (8) строго возрастает на отрезке $[0;l],$ $t(0) = \alpha,$ $t(l) = \beta,$ и она является непрерывной кусочно непрерывно дифференцируемой на отрезке $[0;l].$

Наличие функции (8) даёт возможность еще одного задания кривой $L\colon$

(9) $\begin{equation*} \begin{array}{c} L=\big\{(x,y,z)\colon x = \varphi(s),\ y = \psi(s),\ z =\xi(s),\ s\in [0;l]\big\}, \\[2ex] A\big(\varphi(0),\psi(0),\xi(0)\big), \ \ B\big(\varphi(l),\psi(l),\xi(l)\big), \end{array} \end{equation*}$

когда в качестве параметра $s$ выступает длина дуги.

Задания (1) и (9) таковы, что

(10) $\begin{equation*} \varphi\big(s(t)\big) = x(t),\ \psi\big(s(t)\big) = y(t),\ \xi\big(s(t)\big) = z(t)\ \ \forall t\in [\alpha;\beta], \end{equation*}$

$x\big(t(s)\big)=\varphi(s),\ y\big(t(s)\big)=\psi(s),\ z\big(t(s)\big)=\xi(s) \ \ \forall s\in [0;l].$

Записи (1) и (5) — параметрическое задание кривой $L.$ Запись (9) — естественная параметризация кривой $L,$ при этом $s$ — натуральный параметр.