Определение 1. Если кривая 
с началом в точке 
и концом в точке 
задана параметрически
(1) 
так, что
(2) 
функции 
непрерывно дифференцируемы на смежных отрезках
(3) 
причем
(4) 
то она называется кусочно гладкой кривой.
При 
и 
в (4) рассматриваются односторонние производные.
В каждой точке 
кривой существует (рис. 1) либо касательная, либо полукасательная (одна или две).
Рис. 1
Наряду с (1) при (2) удобна запись-задание кривой
(5) 
Из определения функции и задания (5) следует, что каждому значению 
отвечает определённая точка 
на 
Обратное не всегда верно, поскольку есть кривые с точками самопересечения и участками самоналегания (рис. 2).
Определение 2. Кривая, гомеоморфная некоторому отрезку, называется простой.
Гомеоморфизм предполагает взаимнооднозначное и взаимнонепрерывное соответствие. Поэтому у простой кривой нет ни точек самопересечения, ни участков самоналегания.
Рис. 2
Определение 3. Путем 
вдоль кривой (5) называется множество точек, которое пробегает точка 
при изменении от до 
причем участки многократного прохождения учитываются соответственно их кратности.
Длину пути обозначим 
Например, длина пути 
кривой 
построенной на рисунке 2б, равна
Определение 4. Кривая конечной длины называется спрямляемой.
Далее рассматриваются кусочно гладкие спрямляемые, но не обязательно простые, кривые.
Введем обозначения:
(6) 
Функция возрастает (строго) на отрезке 
и принимает значения 
то есть,
(7) 
По теореме Барроу функция является непрерывной кусочно непрерывно дифференцируемой на отрезке 
Эти свойства позволяют сделать вывод о существовании функции
(8) 
обратной к функции (7). При этом функция (8) строго возрастает на отрезке 
и она является непрерывной кусочно непрерывно дифференцируемой на отрезке 
Наличие функции (8) даёт возможность еще одного задания кривой 
(9) 
когда в качестве параметра выступает длина дуги.
Задания (1) и (9) таковы, что
(10) 
и
Записи (1) и (5) — параметрическое задание кривой Запись (9) — естественная параметризация кривой 
при этом — натуральный параметр.
