Неопределенный интеграл от косинуса в кубе

В предыдущей записи была решена задача нахождения неопределенного интеграла от синуса в третьей степени $\displaystyle \int\sin^3 x\;dx.$ Рассмотрим аналогичную задачу по нахождению неопределенного интеграла от косинуса в кубе, т.е.

$\displaystyle \int\cos^3 x\;dx.$

Заметим, что косинус в третьей степени $\cos^3 x=\cos x\,\cos^2 x$ $\forall x\in{\mathbb R}$ и $\cos^2x=1-\sin^2x$ $\forall x\in{\mathbb R},$ а значит,

$\displaystyle \int\cos^3 x\;dx=$ $\displaystyle \int \cos^2 x\, \cos x\;dx=$ $\displaystyle \int (1-\sin^2x)\cos x\;dx.$

Далее воспользуемся тем, что $\cos x=(\sin x)^{\prime}\;\;\;\forall x\in{\mathbb R}$ и $f^{\prime}(x)\;dx=df(x):$

$\displaystyle \int\cos^3 x\;dx=\ldots=$ $\displaystyle \int (1-\sin^2x)\cos x\;dx=$

$\displaystyle =\int(1-\sin^2x)(\sin x)^{\prime}\;dx=$ $\displaystyle \int(1-\sin^2x)\;d\sin x=$

$\displaystyle =\int d\sin x-\int\sin^2x\;d\sin x=$ $\displaystyle \sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C \quad \forall x\in{\mathbb R},$

где $C$ — произвольная вещественная постоянная.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от «косинуса в кубе» было использовано свойство линейности неопределенного интеграла:

$\displaystyle \int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=$ $\displaystyle \alpha\int f(x)\;dx+\beta\int g(x)dx$ $\alpha,\beta\in{\mathbb R};$

и то, что

$\displaystyle \int dF(x)=F(x)+C, \quad$ $\displaystyle \int u^{\alpha} du=\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ \ (\alpha\ne{}-1).$

Таким образом

$\displaystyle \int\cos^3 x\;dx=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C \quad$ $\displaystyle \forall x\in{\mathbb R},$

где $C$ — произвольная вещественная постоянная.

В следующем видео эта задача приведена с подробным решением и необходимыми комментариями, что поможет лучше разобраться с ходом решения задачи нахождения интеграла от косинуса в третьей степени.