Неопределенный интеграл от косинуса в квадрате

При решении задач на нахождение интегралов от тригонометрических функций часто требуется найти неопределенный интеграл от косинуса во второй степени, в этом случае удобно воспользоваться формулой понижения степени

$\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\ \ \forall x\in{\mathbb R}.$

Рассмотрим следующий неопределенные интегралы от косинуса в квадрате:

$\displaystyle \int\cos^2x\;dx=$ $\displaystyle\int\dfrac{1+\cos 2x}{2}\;dx=$ $\displaystyle\dfrac{1}{2}\ \int dx+\dfrac{1}{2}\ \int \cos2x\ dx=$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\ x+\dfrac{1}{2\cdot2}\ \int \cos 2x\;d(2x)=$ $\displaystyle \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\ \sin 2x+C \ \ \forall x\in{\mathbb R},$

где $C$ — произвольная вещественная постоянная.

Значит, неопределенный интеграл от косинуса в квадрате:

$\displaystyle \int\cos^2x\;dx=$ $\displaystyle \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\ \sin 2x+C \ \ \forall x\in{\mathbb R}.$

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от косинуса во второй степени были использованы:

$\displaystyle dx=\dfrac{d(\alpha x)}{\alpha}\ \ \ \alpha\ne 0, \quad$ $\displaystyle \int dF(x)=F(x)+C, \quad$ $\displaystyle \int \cos u\;du=\sin u+C.$

В приведенном видео-занятии по теме «Неопределенный интеграл: интегрировании некоторых тригонометрических функций» демонстрируется подробное решение этой задачи, а также задачи нахождения неопределенного интеграла от синуса в квадрате.