Неопределенный интеграл от синуса в четвертой степени

В предыдущих записях мы рассматривали нахождение неопределенных интегралов от синуса во второй и третьей степенях. Продолжая этот процесс решим задачу нахождения неопределенного интеграла от синуса в четвертой степени, т.е.

$\displaystyle \int \sin^4 x\,dx.$

Для нахождения этого неопределенного интеграла воспользуемся формулой понижения степени синуса:

$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2} \quad \forall\alpha\in{\mathbb R}.$

Интеграл

$\displaystyle \int \sin^4 x\,dx=\int(\sin^2x)^2\,dx=$ $\displaystyle \int\Bigl(\dfrac{1-\cos2x}{2}\Bigr)^2\,dx=$ $\displaystyle \int\dfrac{1-2\cos2x+\cos^2 2x}{4}\,dx.$

Далее воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла:

$\displaystyle \int (\lambda f(x)+\mu g(x))dx=\lambda\int f(x)\;dx+\mu\int g(x)dx$

и формулой понижения степени косинуса

$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2} \quad \forall\alpha\in{\mathbb R}.$

При этом, интеграл от синуса в 4-й степени

$\displaystyle \int \sin^4 x\,dx=\ldots= \int\dfrac{1-2\cos2x+\cos^2 2x}{4}\,dx=$

$\displaystyle =\dfrac{1}{4}\, \Bigl(\int dx-2\int\cos2x\,dx+\int \cos^2 2x\,dx \Bigr)=$

$\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\Bigl(\int dx-\dfrac{2}{2}\,\int\cos2x\,d(2x)+\int \dfrac{1+\cos 4x}{2}\,dx \Bigr)=$

$\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\Bigl(\int dx-\int\cos2x\,d(2x)+\dfrac{1}{2}\,\int dx+\dfrac{1}{2}\,\int\cos 4x\,dx\Bigr)=$

$\displaystyle=\dfrac{1}{4}\,\Bigl(\dfrac{3}{2}\,\int dx-\int\cos2x\,d(2x)+\dfrac{1}{2\cdot 4}\,\int\cos 4x\,d(4x)\Bigr)=$

$\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\Bigl(\dfrac{3}{2}\,x-\sin 2x+\dfrac{1}{8}\,\sin 4x +C\Bigr)=$ $\dfrac{3}{8}\,x-\dfrac{1}{4}\,\sin 2x+\dfrac{1}{32}\,\sin 4x +C,$

где $C$ — произвольная действительная постоянная.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от синуса в четвертой степени также было использовано свойство дифференциала $df(x)=f^{\prime}(x)\,dx,$ по которому $dx=\dfrac{d(\alpha x)}{\alpha}$ $\alpha\ne 0.$

Таким образом

$\displaystyle \int\sin^4 x\;dx= \dfrac{3}{8}\,x-\dfrac{1}{4}\,\sin 2x+\dfrac{1}{32}\,\sin 4x +C\quad \forall x\in{\mathbb R},$

где $C$ — произвольная действительная постоянная.

Также для успешного освоения темы и формирования навыка нахождения интегралов будет полезно посмотреть следующее видео занятие, где подробно и с комментариями приведено решение примера по нахождению неопределенного интеграла от синуса в 4-й степени.