Неопределенный интеграл от синуса в четвертой степени

sin4mimiat150x300-9809607В предыдущих записях мы рассматривали нахождение неопределенных интегралов от синуса во второй и третьей степенях. Продолжая этот процесс решим задачу нахождения неопределенного интеграла от синуса в четвертой степени, т.е.

quicklatex-com-5680fc63b5f312af15667fd850542d88_l3-2918610

Для нахождения этого неопределенного интеграла воспользуемся формулой понижения степени синуса:

quicklatex-com-8647b0c4a7c2e5a2f6f7e9e30aeb2f2c_l3-8697244

Интеграл

quicklatex-com-a0025569134561e63d4d35ec76ad53f7_l3-2789685 quicklatex-com-a12b702d3cd8866d49b4c431ad035cb7_l3-5886403 quicklatex-com-a124d094327b7b43849a4e659304397c_l3-9105414

Далее воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла:

quicklatex-com-eb10f32bcef2c7a6c11a1e53e146c775_l3-9233401

и формулой понижения степени косинуса

quicklatex-com-87306c5f68a0196e64074374e8ea8440_l3-6800368

При этом, интеграл от синуса в 4-й степени

quicklatex-com-efd2a53ffa7cfebff550c9a8006a8891_l3-7297280

quicklatex-com-0ea24c14c60f63bb37332c74698eb5ff_l3-7067687

quicklatex-com-ec47212e901bdb71b551a0c6d29d740b_l3-8448712

quicklatex-com-f9c472fb11b02bd0c50f38b1df4f5ef7_l3-8047015

quicklatex-com-4290072c576062077829826bf721a660_l3-1079155

quicklatex-com-632897b128e9d7aac8f9b23f87d4bde8_l3-4194726 quicklatex-com-1bddff8d8ea7e60ab424974e00639b95_l3-8880773

где quicklatex-com-606b82b0f5c713a03806b7d79791c340_l3-9392185 — произвольная действительная постоянная.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от синуса в четвертой степени также было использовано свойство дифференциала quicklatex-com-43d524a3b93e7c7c22bf31468be8a20e_l3-6678098 по которому quicklatex-com-45a53be6ca211108d953d8288f3e473d_l3-8521702  quicklatex-com-8aba63fa169df576cc2fb82f211cccd1_l3-7922724

Таким образом

quicklatex-com-40b50430e049cab533d0407498d0a7af_l3-3084268

где quicklatex-com-606b82b0f5c713a03806b7d79791c340_l3-9392185 — произвольная действительная постоянная.

Также для успешного освоения темы и формирования навыка нахождения интегралов будет полезно посмотреть следующее видео занятие, где подробно и с комментариями приведено решение примера по нахождению неопределенного интеграла от синуса в 4-й степени.

Оцените автора
Высшая Математика