Неопределенный интеграл от синуса в кубе

Рассмотрим решение задачи по нахождению неопределенного интеграла от синуса в кубе, т.е.

$\displaystyle \int\sin^3 x\;dx.$

Прежде всего заметим, что синус в третьей степени $\sin^3 x=\sin x\sin^2 x$ $\forall x\in{\mathbb R}$ и $\sin^2x=1-\cos^2x$ $\forall x\in{\mathbb R},$ а значит,

$\displaystyle \int\sin^3 x\;dx=$ $\displaystyle \int \sin^2 x \sin x\;dx=$ $\displaystyle \int (1-\cos^2x)\sin x\;dx.$

Далее воспользуемся тем, что $\sin x={}-(\cos x)^{\prime}\;\;\forall x\in{\mathbb R}$ и $f^{\prime}(x)\;dx=df(x):$

$\displaystyle \int\sin^3 x\;dx=\ldots=$ $\displaystyle \int (1-\cos^2x)\sin x\;dx=$

$\displaystyle ={}-\int(1-\cos^2x)(\cos x)^{\prime}\;dx=$ $\displaystyle {}-\int(1-\cos^2x)\;d\cos x=$

$\displaystyle ={}-\int d\cos x+\int\cos^2x\;d\cos x=$ $\displaystyle -\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C \quad \forall x\in{\mathbb R},$

где $C$ — произвольная вещественная постоянная.

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от «синуса в кубе» также было использовано свойство линейности неопределенного интеграла:

$\displaystyle \int (\lambda f(x)+\mu g(x))dx=$ $\displaystyle \lambda\int f(x)\;dx+\mu\int g(x)dx;$

и то, что

$\displaystyle \int dF(x)=F(x)+C, \quad$ $\displaystyle \int u^{\alpha} du=\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ \ (\alpha\ne{}-1).$

Таким образом

$\displaystyle \int\sin^3 x\;dx={}-\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C \quad$ $\displaystyle \forall x\in{\mathbb R},$

где $C$ — произвольная вещественная постоянная.

В следующем видео продемонстрировано нахождение неопределенного интеграла от синуса в третьей степени. Пояснения и комментарии помогут разобраться с ходом решения задачи и сформировать навык нахождения подобных интегралов.