Неопределенный интеграл от синуса в квадрате

Часто при решении прикладных задач возникают ситуации когда требуется найти неопределенный интеграл от синуса или косинуса в некоторой натуральной степени, в частности, от синуса или косинуса в квадрате, в этих случаях для нахождения неопределенного интеграла требуется воспользоваться формулами понижения степени

$\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\ \ \forall x\in{\mathbb R}\,,\quad \cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\ \ \forall x\in{\mathbb R}.$

Рассмотрим следующий неопределенные интегралы от синуса в квадрате:

$\displaystyle \int\sin^2x\;dx=$ $\displaystyle\int\dfrac{1-\cos 2x}{2}\;dx=$ $\displaystyle\dfrac{1}{2}\ \int dx-\dfrac{1}{2}\ \int \cos2x\ dx=$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\ x-\dfrac{1}{2\cdot2}\ \int \cos 2x\;d(2x)=$ $\displaystyle \dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\ \sin 2x+C \ \ \forall x\in{\mathbb R},$

где $C$ — произвольная вещественная постоянная.

Таким образом:

$\displaystyle \int\sin^2x\;dx= \dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\ \sin 2x+C \ \ \forall x\in{\mathbb R}.$

Здесь при нахождении неопределенного интеграла от синуса во второй степени были использованы:

$\displaystyle dx=\dfrac{d(\alpha x)}{\alpha}\ \ \ \alpha\ne 0, \quad$ $\displaystyle \int dF(x)=F(x)+C, \quad$ $\displaystyle \int \cos u\;du=\sin u+C.$

В следующем практическом видео-занятии по теме «Неопределенный интеграл: интегрировании некоторых тригонометрических функций» приведено подробное решение задачи о нахождении интеграла от sin в квадрате.