Элементы теории множеств. Основные определения
Множество является одним из неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных общим признаком, свойством. Например, множество натуральных чисел, множество действительных чисел, множество функций, непрерывных на отрезке, множество многочленов с действительными коэффициентами степени, не превышающей n . Объекты, составляющие множе-
ство, называются его элементами.
Множества принято обозначать прописными буквами ла-
тинского алфавита A,B,C, …Элементы множества обозначают строчными буквами a, b, c, …
Утверждение «элемент a принадлежит множеству A » сим- волически записывается как a О A , а «элемент a не принадле- жит множеству A » символически записывается как a П A .
Определение. Множество, не содержащее ни одного элемен- та, называется пустым и обозначается символом Ж .
Определение. Множество B � называется подмножеством множества A , если все элементы множества B принадлежат множеству A . Обозначение: B Н A .
7
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Определение. Множества A и B называются равными, если B Н A и A Н B . Обозначение: A = B .
Определение. Подмножество B � множества A называется собственным, если существует элемент множества A , не при- надлежащий множеству B . Обозначение: B М A .
Утверждение. Пустое множество Ж является подмножеством любого множества, т. е. Ж М B , а любое множество — несоб- ственное подмножество самого себя, т. е. B Н B .
Если в задаче рассматриваются подмножества одного и того же множества, то это множество называется универсаль- ным и обозначается через U .
Например, числовые промежутки — подмножества множе- ства R , в этом смысле R — универсальное множество.
Множество можно задать либо перечислением всех его эле- ментов, либо указанием характеристического свойства элемен- тов множества.
Например, множество A = {a; b; c; d} — задано перечислени- ем его четырех элементов. Множество X = {x ОN : x < 5} состо- ит из натуральных чисел таких, что элементы множества мень- ше 5, т.е. X ={1;2;3;4}.
